Pre simuláciu potrebujeme matematický model. Mohol by to byť model založený na fyziologických procesoch súvisiacich s metabolizmom glukózy. Také modely sú dostupné v literatúre. Avšak z ich podstaty zodpovedajú akoby priemernému subjektu (človeku s diabetom) a je obtiažne ich prispôsobiť tak aby zodpovedali konkrétnemu subjektu. A mi chceme simulovať konkrétny subjekt, konkrétne bolusy, konkrétne „faktory inzulínovej citlivosti“ a podobne.
V simulátore nepoužijeme model založený na fyziologii. Použijeme iný. Budeme ho nazývať Empirický model. Nevystihuje vnútorné procesy súvisiace s metabolizmom a transportom glukózy. Je jednoduchší. Jeho parametre sú do veľkej miery spojené s pojmami inzulínová citlivosť a sacharidový pomer.
Empirický model
Empirický model sa v základnej štruktúre skladá z dvoch častí. Inzulínový podsystém a sacharidový podsystém. Prvý uvedený modeluje takpovediac efekt inzulínu - jeho výstupom je signál, ktorý reprezentuje priebeh glykémie ak na ňu vplýva len inzulín. Sacharodový podsystém obdobne modeluje efekt sacharidov (prijatých s jedlom) a teda jeho výstupom je signál, ktorý reprezentuje glykémiu pri pôsobení len prijatých sacharidov. Súčet týchto dvoch efektov potom reprezentuje výsledný priebeh glykémie. Schematicky je možné základnú štruktúru modelu znázorniť ako na nasledujúcom obrázku:
Obr. 1: Základná štruktúra empirického modelu.
Rovnice modelu
Úplne presne je možné model vyjadriť v tvare:$$
\begin{align}
\dot x_{i1}(t) &= - \frac{1}{T_i} x_{i1}(t) + u_i(t) \\
\dot x_{i2}(t) &= - \frac{1}{T_i} x_{i2}(t) + \frac{1}{T_i} K_i x_{i1}(t) \\
y_i(t) &= e\ x_{i2}(t) \\
\dot x_{c1}(t) &= - \frac{1}{T_c} x_{c1}(t) + u_c(t) \\
\dot x_{c2}(t) &= - \frac{1}{T_c} x_{c2}(t) + \frac{1}{T_c} K_c x_{c1}(t) \\
y_c(t) &= e\ x_{c2}(t) \\
G(t) &= G_b + y_c(t) - y_i(t)
\end{align}
$$ kde $G(t)$ [mmol/l] je výstupná (výsledná) glykémia. Signály $x_{i1}(t)$, $x_{i2}(t)$, $x_{c1}(t)$, $x_{c2}(t)$, $y_i(t)$ a $y_c(t)$ sú isté vnútorné signály modelu a symbol $e$ v tomto prípade označuje matematickú konštantu - Eulerove číslo.
Vstupné signály
Vstupmi modelu sú signály $u_i(t)$ [U/min] a $u_c(t)$ [g/min].
Signál $u_i(t)$ je rýchlosť infúzie (podávania) inzulínu do podkožia. Veľmi ľahko je možné tento signál vyjadriť v jednotkách [U/h] súvis s bazálnym inzulínom je hneď zrejmý. Klasický bolus (dávka) inzulínu sa realizuje ako vysoká rýchlosť infúzie inzulínu počas krátkeho času. Teda impulz signálu $u_i(t)$.
Napríklad, nech je dané, že šírka impulzu je 5 minút a cieľom je podať 1 [U] inzulínu. Ak počas 5 minút bude rýchlosť infúzie inzulínu 0,2 [U/min], potom výsledná dávka je 1 [U].
Signál $u_c(t)$ je vzhľadom na jednotky [g/min] tiež rýchlosť. V tomto prípade rýchlosť prísunu sacharidov do organizmu, presnejšie jedla s obsahom sacharidov. Úplne postačuje opäť uvažovať impulz signálu $u_c(t)$.
Napríklad nech impulz má šírku 5 [min] a prijaté množstvo sacharidov je 10 [g]. To zodpovedá rýchlosti (výške impulzu) 2 [g/min]. Smozrejme zvyčajne jeme dlhšie ako 5 minút. Avšak medzi impulzom so šírkou 5 minút a so šírkou 15 minút je z pohľadu simulácie zanedbateľný rozdiel. Iste, impulz v dĺžke trvania napr. 60 minút by už bolo niečo iné.
Inzulínový podsystém
Parametrami inzulínového podsystému sú $K_i$ [mmol/l/U] a $T_i$ [min]. Tieto parametre definujú ako bude vyzerať priebeh glykémie v závislosti od inzulínu. Význam týchto parametrov je možné ukázať na príklade, kde simulujeme podanie bolusu 1 [U]. Viď Obr. 2, kde simulovaný subjekt je pomocou bazálneho inzulínu udržiavaný na, takpovediac, bazálnej glykémii $G_b = 7$ [mmol/l]. Na spodnom grafe Obr. 2 vidíme, že rýchlosť podávania inzulínu je nenulová počas celej simulácie.
Obr. 2: Význam parametrov inzulínového podsystému.
V čase $t=1$ [h] je podaný bolus s veľkosťou 1 [U]. Na priebehu glykémie sa to prejaví poklesom. Po čase sa však glykémia vráti na ustálenú („bazálnu“) hodnotu. Takto v tomto prípade modelujeme efekt inzulínu. Veľkosť maxima poklesu je daná parametrom $K_i = 2,5$ [mmol/l/U] ako je znázornené na vrchnom grafe. Čas maxima poklesu je daná parametrom $T_i = 24$ [min]. Celková doba efektu inzulínu je približne päť násobok hodnoty parametra $T_i$, ako je tiež znázornené na grafe.
Sacharidový podsystém
Parametrami sacharidového podsystému sú $K_c$ [mmol/l/g] a $T_c$ [min]. Tieto parametre definujú ako bude vyzerať priebeh glykémie v závislosti od sacharidov.
Význam týchto parametrov je možné ilustrovať na príklade, kde simulujeme, naozaj len teoreticky, príjem jedla s obsahom 1 [g] sacharidov. Výsledok simulácie je na Obr. 3.
Obr. 3: Význam parametrov sacharidového podsystému.
Rovnako ako na Obr. 2, simulovaný subjekt je v ustálenom stave na hodnote $G_b = 7$ [mmol/l].
V čase $t=1$ [h] je s jedlom prijatý 1 [g] sacharidov. Táto udalosť je reprezentovaná impulzom signálu $u_c(t)$ zobrazenom na spodnom grafe Obr. 3. Na priebehu glykémie sa to prejaví nárastom, pričom hodnota maxima a čas maxima sú dané parametrami $K_c$ a $T_c$. Približná celková doba efektu sacharidov je päť násobok hodnoty $T_c$ ako je znázornené na Obr. 3.
V čase $t=1$ [h] je s jedlom prijatý 1 [g] sacharidov. Táto udalosť je reprezentovaná impulzom signálu $u_c(t)$ zobrazenom na spodnom grafe Obr. 3. Na priebehu glykémie sa to prejaví nárastom, pričom hodnota maxima a čas maxima sú dané parametrami $K_c$ a $T_c$. Približná celková doba efektu sacharidov je päť násobok hodnoty $T_c$ ako je znázornené na Obr. 3.
MT